PROBLEMAS Y SOLUCIONES CON M.C.M Y M.C.D.

PROBLEMA 1

¿A qué hora volverán a coincidir en la parada los autobuses de estas cuatro líneas si han salido todos a las 8 de la mañana de ella y pasan con esta frecuencia?

Línea 1 : Cada 20 minutos.

Línea 2 : Cada 45 minutos.

Línea 3 : Cada hora y media.

Línea 4 : Cada 40 minutos.


Lo primero que tenemos que hacer es poner todos los tiempos en las mismas unidades. Ya que todas, excepto una línea, tenemos su tiempo en minutos, pondremos el tiempo de la Línea 3 en minutos. Sabemos que una hora y media son 90 minutos

Tenemos que comprender que cada vez que pasan por esa parada supone un múltiplo del valor del tiempo:
Línea  1: Pasará dentro de 20min.; 40min; 60 min; 80min...
Línea  2: Pasará dentro de 45min; 90min; 135min; 180min...
Línea  3: Pasará dentro de 90 min; 180min; 270min; 360min...
Línea  4: Pasará dentro de 40min; 80min; 120min; 160min...

Por tanto tenemos que buscar de entre todos los múltiplos que sean comunes a los cuatro números (tiempo), el más pequeño, pues nos dice cuando se volverán a encontrar por primera vez. Eso supone hallar el mínimo común múltiplo de 20, 45, 90 y 40:

Descomponemos en factores primos:
20 = 2² ۰ 5
45 = 3² ۰ 5
90 = 2  ٠ 3² ۰5
40 = 2³ ۰ 5

m.c.m (20,45,90,40) = 2³ ۰ 3² ۰5
                                  = 8 ۰  9 ۰5
                                  = 360

Los autobuses volverán a coincidir dentro de 360 minutos

360 minutos = 6 horas      (360 : 60 = 6)

8 de la mañana + 6 horas = 14 horas

SOLUCIÓN: Los cuatro autobuses volverán a coincidir en esa parada a las 14 horas (2 de la tarde).

PROBLEMA 2

En una bombonería tiene estos bombones:

240 bombones de chocolate blanco.

180 bombones de chocolate con leche.

168 bombones de chocolate negro.


Con todos ellos quieren rellenar cajas de bombones para ponerlas a la venta de tal forma que todas sean iguales (el contenido sea el mismo) y el número de bombones que contengan las cajas sea el mayor posible.

¿Cuantas cajas podrán hacer y cuántos bombones de cada clase contendrá cada una?

Tenemos que comprender que tenemos que repartir esos bombones en cajas (lo que es lo mismo, dividir). Como no nos tiene que sobrar ningún bombón, tenemos que buscar los divisores de cada una de las cantidades y ver los que coinciden en las tres cantidades. Como nos dice que cada caja tiene que tener el mayor número de bombones posibles, tenemos que buscar, de los divisores comunes el mayor. Esto es: tenemos que buscar el máximo común divisor de 240, 180 y de 168.

Descomponemos en factores primos:
240 = 2⁴ ٠ 3  ٠ 5
180 = 2² ٠ 3² ٠ 5
168 = 2³ ٠ 3   ٠  7

m.c.d. = 2² ٠ 3
           = 4  ٠ 3
           = 12

Podremos hacer 12 cajas.

En cada caja irán:

240 : 12 = 20 chocolate blanco
180 : 12 = 15 chocolate con leche
168 : 12 = 14 chocolate negro
                                                    
SOLUCIÓN: Podrán hacer 12 cajas. En cada caja irán 20 bombones de chocolate blanco, 15 bombones de chocolate con leche y 14 bombones de chocolate negro.


Aunque no nos lo preguntan, podemos saber cuantos bombones contendrá cada caja. Lo podemos hallar de dos maneras:
 1.-  Sumamos los bombones de cada variedad en cada una de las cajas : 20+15+14 = 49
 2.-  Sumamos el total de bombones de cada varieriedad y lo dividimos por las cajas que hacemos:
        (240 + 180 + 168) : 12 = 49

Cada caja contendrá 49 bombones.